Aplicación de las reglas de Kirchhoff

Al aplicar las reglas de Kirchhoff, generamos un conjunto de ecuaciones lineales que nos permiten hallar los valores desconocidos en los circuitos. Pueden ser corrientes, voltajes o resistencias. Cada vez que se aplica una regla, se produce una ecuación. Si hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas, el problema se puede resolver.

La utilización del método de análisis de Kirchhoff requiere varios pasos, como se indica en el siguiente procedimiento.

Estrategia de Resolución De Problemas

Reglas de Kirchhoff

Marque los puntos del circuito con las letras minúsculas a, b, c.... Estas marcas simplemente ayudan a la orientación.
Localice los nodos en el circuito. Los nodos son puntos donde se conectan tres o más cables. Rotule cada nodo con las corrientes y direcciones de entrada y salida. Asegúrese de que al menos una corriente apunte hacia el nodo y al menos una corriente apunte hacia fuera de él.
Elija los bucles del circuito. Cada componente debe estar contenido en al menos un bucle, pero un componente puede estar contenido en más de uno.
Aplique la regla de nodos. De nuevo, algunos nodos no deberían incluirse en el análisis. Solo es necesario utilizar suficientes nodos para incluir todas las corrientes.
Aplique la regla de las tensiones. Puede utilizar la siguiente imagen de referencia:

Cada uno de estos resistores y fuentes de voltaje se recorren de a hasta b. (a) Al desplazarse a través de un resistor en el mismo sentido que el flujo de corriente, reste la caída de potencial. (b) Al desplazarse a través de un resistor en sentido contrario al flujo de corriente, sume la caída de potencial. (c) Al desplazarse a través de una fuente de voltaje desde el terminal negativo al positivo, sume la caída de potencial. (d) Al desplazarse a través de una fuente de voltaje desde el terminal positivo al negativo, reste la caída de potencial.

Examinemos más detenidamente algunos pasos de este procedimiento. A la hora de localizar los nodos en el circuito, no se preocupe por el sentido de las corrientes. Si la dirección del flujo de corriente no es obvia, basta con elegir cualquier dirección siempre que al menos una corriente apunte hacia el nodo y al menos una corriente apunte hacia fuera de él. Si la flecha está en la dirección opuesta al flujo de corriente convencional, el resultado para la corriente en cuestión será negativo pero la respuesta seguirá siendo correcta.

El número de nodos depende del circuito. Cada corriente debe incluirse en un nodo y, por tanto, en al menos una ecuación de nodo. No incluya nodos que no sean linealmente independientes, es decir, nodos que contengan la misma información.

Considere la siguiente imagen. En este circuito hay dos nodos: nodo b y nodo e. Los puntos a, c, d y f no son nodos, porque un nodo debe tener tres o más conexiones. La ecuación del nodo b es

I_{1} = I_{2} + I_{3}

y la ecuación del nodo e es

I_{2} + I_{3} = I_{1}

. Estas son ecuaciones equivalentes, por lo que es necesario mantener solo una de ellas.

A primera vista, este circuito contiene dos nodos, el nodo b y el nodo e, pero solo debe considerarse uno porque sus ecuaciones de nodo son equivalentes.

A la hora de elegir los bucles en el circuito, necesita suficientes bucles para que cada componente se cubra una vez, sin repetir bucles. La siguiente figura muestra cuatro opciones de bucles para resolver un circuito de ejemplo; las opciones (a), (b) y (c) tienen una cantidad suficiente de bucles para resolver el circuito completamente. La opción (d) refleja más bucles de los necesarios para resolver el circuito.

Los paneles (a) hasta (c) son suficientes para el análisis del circuito. En cada caso, los dos bucles mostrados contienen todos los elementos del circuito que son necesarios para resolverlo completamente. El panel (d) muestra tres bucles utilizados, que es más de lo necesario. Dos bucles cualesquiera del sistema contendrán toda la información necesaria para resolver el circuito. Añadir el tercer bucle proporciona información redundante.

Considere el circuito de la siguiente figura a). Analicemos este circuito para hallar la corriente que pasa por cada resistor. En primer lugar, marque el circuito como se muestra en la parte (b).

(a) Un circuito multi-loop (o circuito de bucle múltiple). (b) Marque el circuito para ayudar a la orientación.

A continuación, determine los nodos. En este circuito, los puntos b y e tienen tres cables conectados cada uno, lo que los convierte en nodos. Comience a aplicar la regla de nodos de Kirchhoff

(\sum I_{dentro} = \sum I_{fuera})

dibujando flechas que representen las corrientes y marcando cada flecha, como se muestra en la siguiente figura (b). El nodo b muestra que

I_{1} = I_{2} + I_{3}

y el nodo e muestra que

I_{2} + I_{3} = I_{1}

. Dado que el nodo e proporciona la misma información que el nodo b, puede ignorarse. Este circuito tiene tres incógnitas, por lo que necesitamos tres ecuaciones linealmente independientes para analizarlo.

(a) Este circuito tiene dos nodos, marcados como b y e, pero solo se utiliza el nodo b en el análisis. (b) Las flechas marcadas representan las corrientes que entran y salen de los nodos.

A continuación, tenemos que elegir los bucles. En la siguiente figura, el bucle abefa incluye la fuente de voltaje

V_{1}

y los resistores

R_{1}

R_{2}

. El bucle comienza en el punto a, luego recorre los puntos b, e y f y vuelve al punto a. El segundo bucle, el bucle ebcde, comienza en el punto e, incluyendo los resistores

R_{2}

R_{3}

, y la fuente de voltaje

V_{2}

Elija los bucles del circuito.

Ahora podemos aplicar la regla de las tensiones de Kirchhoff, utilizando el mapa de la primera figura. Partiendo del punto a y llegando al punto b, el resistor $R_{1}$ se cruza en la misma dirección que el flujo de corriente $I_{1}$ , por lo que la caída de potencial $I_{1} R_{1}$ se resta. Al pasar del punto b al punto e, el resistor $R_{2}$ se cruza en la misma dirección que el flujo de corriente $I_{2}$ por lo que la caída de potencial $I_{2} R_{2}$ se resta. Al pasar del punto e al punto f, la fuente de voltaje $V_{1}$ se cruza desde el terminal negativo al positivo, por lo que $V_{1}$ se añade. No hay componentes entre los puntos f y a. La suma de las diferencias de voltaje debe ser igual a cero:

Bucle a b e f a : - I_{1} R_{1} - I_{2} R_{2} + V_{1} = 0 o V_{1} = I_{1} R_{1} + I_{2} R_{2} .

Por último, comprobamos el bucle ebcde. Comenzamos en el punto e y nos desplazamos hasta el punto b, cruzando $R_{2}$ en la dirección opuesta al flujo de corriente $I_{2}$ . La caída de potencial $I_{2} R_{2}$ se añade. A continuación, cruzamos $R_{3}$ y $R_{4}$ en la misma dirección que el flujo de corriente $I_{3}$ y se restan las caídas de potencial $I_{3} R_{3}$ y $I_{3} R_{4} .$ Observe que la corriente es la misma a través de los resistores $R_{3}$ y $R_{4}$ , porque están conectados en serie. Finalmente, la fuente de voltaje se cruza desde el terminal positivo al negativo, y la fuente de voltaje $V_{2}$ se resta. La suma de estas diferencias de voltaje es igual a cero y da lugar a la ecuación de bucle

Bucle e b c d e : I_{2} R_{2} - I_{3} (R_{3} + R_{4}) - V_{2} = 0 .

Ahora tenemos tres ecuaciones, que podemos resolver para las tres incógnitas.

\begin{matrix} (1) Nodo b : I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0 . \\ (2) Bucle a b e f a : I_{1} R_{1} + I_{2} R_{2} = V_{1} . \\ (3) Bucle e b c d e : I_{2} R_{2} - I_{3} (R_{3} + R_{4}) = V_{2} . \end{matrix}

Para resolver las tres ecuaciones de las tres corrientes desconocidas, se empieza por eliminar la corriente $I_{2}$ . Primero hay que añadir la Ec. (1) por $R_{2}$ a la Ec. (2). El resultado se marca como Ec. (4):

\begin{matrix} (R_{1} + R_{2}) I_{1} - R_{2} I_{3} = V_{1} . \\ (4) 6 Ω I_{1} - 3 Ω I_{3} = 24 V . \end{matrix}

A continuación, se resta la Ec. (3) de la Ec. (2). El resultado se marca como Ec. (5):

\begin{matrix} I_{1} R_{1} + I_{3} (R_{3} + R_{4}) = V_{1} - V_{2} . \\ (5) 3 Ω I_{1} + 7 Ω I_{3} = −5 V . \end{matrix}

Podemos resolver las Ecs. (4) y (5) para la corriente $I_{1}$ . Al sumar siete veces la Ec. (4) y tres veces la Ec. (5) resulta en $51 Ω I_{1} = 153 V,$ o $I_{1} = 3,00 A .$ Al utilizar la Ec. (4) resulta en $I_{3} = -2,00 A .$ Por último, la Ec. (1) produce $I_{2} = I_{1} - I_{3} = 5,00 A .$ Una forma de comprobar que las soluciones son coherentes es comprobar la potencia suministrada por las fuentes de voltaje y la potencia disipada por los resistores:

\begin{matrix} P_{dentro} = I_{1} V_{1} + I_{3} V_{2} = 130 W, \\ P_{fuera} = I_{1}^{2} R_{1} + I_{2}^{2} R_{2} + I_{3}^{2} R_{3} + I_{3}^{2} R_{4} = 130 W . \end{matrix}

Observe que la solución para la corriente $I_{3}$ es negativa. Esta es la respuesta correcta, pero sugiere que la flecha dibujada originalmente en el análisis de la unión es la dirección opuesta al flujo de corriente convencional. La potencia suministrada por la segunda fuente de voltaje es de 58 W y no de −58 W.